Проблема со слишком большим количеством подключений к MySQL возникает обычно по двум причинам:

1. Все логично — очень большое количество посетителей и, как следствие, большая нагрузка на сервер.
2. Встречается не так часто, но и не редко — большое количество подключений MySQL, при небольшом количестве посетителей. Не оптимизированные скрипты, работающие с субд, в том числе и не закрывающие подключения.

Первый способ решения проблемы — внесение изменений в файл /etc/my.cnf:

/etc/my.cnf
max_connections=XXX

Затем перезапускаем сервер MySQL:

[13:41:47] [root@localhost ~]# service mysql restart
Shutting down MySQL.......                                 [  OK  ]
Starting MySQL.                                            [  OK  ]

Второй способ — подключение к серверу через SSH и внесение изменений в глобальные настройки MySQL посредством командной строки:

[13:43:21] [root@localhost ~]# mysql
Welcome to the MySQL monitor.  Commands end with ; or \g.
Your MySQL connection id is 51
Server version: 6.2.32-cll MySQL Community Server (GPL)

Copyright (c) 2000, 2011, Oracle and/or its affiliates. All rights reserved.

Oracle is a registered trademark of Oracle Corporation and/or its
affiliates. Other names may be trademarks of their respective
owners.

Type 'help;' or '\h' for help. Type '\c' to clear the current input statement.

mysql> set global max_connections=10000;
Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)